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Estudio crítico dialéctico de los orígenes históricos del cálculo infinitesimal

Introducción

El propósito del siguiente escrito será realizar un estudio crítico, desde algunas categorías del materialismo histórico y la dialéctica hegeliano-marxiana, al contexto histórico que hizo necesaria la enunciación de los fundamentos del cálculo infinitesimal a mediados del siglo XVII con las aportaciones de Newton y Leibniz. Lo anterior con miras a subrayar el carácter transitorio e histórico de esta rama de la matemática.

La ciencia moderna, al igual que otras construcciones humanas que interpretan y modifican a la realidad, no escapa a la historicidad; es decir se hallan fuertemente influenciadas por los intereses de clase y su contexto histórico. Para el caso que nos atañe no haremos una genealogía de la metafísica (en su sentido filosófico) de los albores de la ciencia moderna, ni tampoco un recuento del método de fluxiones hasta llegar a la enunciación del cálculo infinitesimal. Más bien centramos nuestra atención en las razones de clase, económicas y filosóficas inmersas en la formulación del cálculo infinitesimal; es decir, de las formas en que el conocimiento (aun considerando que no era la intención inicial del pensador) es subsumido en un medio de dominación económica e ideológica .

Así, aventuramos la siguiente hipótesis: Los fundamentos del cálculo diferencial tal y como la conocemos se debieron en gran medida a una clase social en ascenso que requería de una fundamentación filosófica y al mismo tiempo la resolución de ciertos problemas técnicos ligados a la producción y explotación. Es decir, una cuestión de subsunción de la nueva ciencia en el proceso de la transformación de las formaciones sociales hacia el capitalismo industrial. Ello de ningún modo quiere decir que la verdad, y en particular las herramientas cuantitativas de la lógica-matemática, sean una mera imposición de clase, pues implicaría decir que existe una ciencia proletaria y una ciencia burguesa que tienen su propia verdad científica (por ejemplo, una hipotética ciencia proletaria no podría negar la verdad de los agujeros negros o de la fusión atómica). Sería avalar una aberración científica e ideológica (como el lisenkismo) ya acaecida durante los años del estalinismo. Recalcamos que un pensamiento alternativo y antihegemónico no debe ser anticientífico. Sino que, en el marco de sociedades clasistas, se potencian aquellos descubrimientos y sobre todo las interpretaciones de la realidad que impliquen una legitimidad del orden imperante y se margina aquello que sea desafiante al orden social y científico. De igual modo no sostenemos que las ramas de las ciencias naturales y formales sean meros títeres de las circunstancias sociales, sino que estas tienen sus propias autonomías epistemológicas pero que son inseparables e influenciadas por su matriz histórica. Sin un cierto sustrato metafísico, las matemáticas podrían tener un carácter diferente. Una vez dicho lo anterior ¿Cuáles son los fundamentos históricos y filosóficos del cálculo infinitesimal?

El estudio meta-matemático será obtenido haciendo una contrastación de autores de diversas disciplinas para comprender el contexto y el fundamento de nuestro objeto de estudio. De tal modo que los apartados serán los siguientes:

1.- Iniciaremos realizando un estudio del contexto socioeconómico ambientado en los tiempos de la Conquista del Nuevo Mundo hasta la Revolución Inglesa, vinculándolo a las necesidades que suple el cálculo infinitesimal.

2.- Se realizará un recuento crítico de los fundamentos filosóficos del cálculo, en particular de los conceptos del infinito y el continuo.

No es nuestro objeto tratar de denigrar la utilidad del cálculo, sino mostrar su transitoriedad y perfectibilidad, que es derivada de una cosmovisión e interpretación filosófica de la realidad sumamente humana. El determinismo y mecanicismo, enunciado por Descartes tuvo su expresión matemática en las conocidas formas del cálculo y geometría analítica. Creemos que su basamento de pensamiento lineal (a pesar de las discusiones que suscitó el uso del infinito) es incompatible con la complejidad intrínseca del pensamiento dialéctico y en gran medida de la nueva ciencia de la complejidad a pesar de que el cálculo diferencial ha sido una herramienta clave para el estudio de estos nuevos fenómenos. Pero tal vacuidad técnica no es impedimento para expresar de un modo cuantitativo las diversas formas que tienen el movimiento y la transformación de los seres en entes ya determinados.

 

1. Entorno a la necesidad histórica del cálculo infinitesimal

 

Es necesario hacer un recuento de los orígenes de la relación entre las matemáticas como ciencia en el marco del remplazo del feudalismo por el capitalismo en Europa Occidental. ¿De qué manera la sociedad de clases estructura y entiende la naturaleza del conocimiento científico? A través de la ideología de la clase gobernante que se construye a través de los aparatos ideológicos. En el caso de la ciencia moderna y la burguesía, se compenetraron para demostrar a través de una interpretación de la naturaleza y eternidad del nuevo orden social emergente en contraposición a la ideología y cosmogonía teológica del feudalismo.

Reafirmamos. A pesar de que nos encontramos con grandes desavenencias con Althusser hay un punto de acuerdo con su pensamiento, la relación entre ideología y ciencia. La ideología define los objetos de estudio y apropiación para la ciencia, de tal modo que en realidad son inseparables. La ideología al producir reconocimiento crea y desdibuja a los objetos de conocimiento. La ciencia por su parte produce el conocimiento a través, de los objetos que ya se encuentran definidos. En esencia, los objetos y objetivos de la ciencia son construcciones históricas donde ha intervenido la lucha de clases.

Pareciera que estas afirmaciones son válidas solamente para las ciencias sociales, ello no es verdad, sino que la ideología se encuentra en la medula de las ciencias exactas. Desde el origen de la Ciencia Occidental la principal aportación de Galileo, no fue el experimento en sí, sino la comparación de una construcción teórica y sistemática previa al experimento . Y es allí, en la tesis que el investigador se encuentra condicionado por sus circunstancias históricas. Aquí bien señala Althusser: “En estas condiciones, está claro que es en el interior mismo del espacio ideológico donde se encuentra producida la designación de los “objetos reales” de los que la ciencia produce el objeto de conocimiento, como por parte, la indicación de la existencia del propio objeto de conocimiento” (Althusser en Badiou, 1981: 20). Parte de los discursos de las ciencias exactas son ideológicos en gran medida o representan la necesidad histórica. Los fundamentos del cálculo afirmamos que no es la excepción.

Las cosmogonías, a diferencia de lo que pudiera pensarse, se encuentran instrumentalizadas para sostener y legitimar un sistema de explotación social. Así de acuerdo a su corpus histórico la realidad natural tiende a interpretarse de cierta manera y no de otra. En el feudalismo, con sus relaciones sociales estáticas y estamentarias se privilegiaban interpretaciones de la naturaleza que legitimarán las divisiones sociales perfectamente delimitadas y que a su vez desaprobara los cambios. Nos explicamos, cada ser humano tenía un lugar preciso e inamovible en su respectiva formación social. De tal modo que se creía que el universo era de una estructura mas bien arquitectónica, siguiendo el cosmos aristotélico, donde cada cuerpo celeste se hallaba en una determinada esfera perfecta e invisible al ojo humano. Incluso se veía a Dios gobernando al Paraíso sobre diversos rangos feudales de seres angélicos. Así llegaba a aceptarse “la naturaleza” del universo. La consecuencia lógica del inmovilismo es su capacidad de asimilar las contradicciones internas; las causas no necesariamente eran las consecuencias e incluso podían llegar a ser trasmutables a pesar de lo ilógico que resultaría para nuestra idiosincrasia moderna. Tal fue el caso de los objetos de estudio del alquimismo. Pero se aceptaba que a la larga la naturaleza era invariable. No era de extrañar que al igual que los estamentos no se consideraran a los objetos de estudio de forma individual sino, por así decirlo, eran corporativizados.

En realidad, la relación entre modo productivo, ideología y ciencia (o filosofía) no son privativas de la Edad Moderna, sino que puede identificarse en la génesis del esclavismo y el inicio de las sistematizaciones de los antiguos griegos. Uno de los problemas centrales de la filosofía política helénica era determinar el lugar que debía ocupar el ciudadano en la formación social (que era esencialmente excluyente). Ello resulta consecuente en una base económica hacia una transición definitiva hacia el esclavismo, donde debía determinarse la posesión del ser humano devenido en medio de producción. Estas eran formaciones sociales que conocerían con particular rigor la lucha de clases de forma directa o latente. Entonces pues, las nociones de armonía o justicia; lugar del ciudadano y equilibrio entre las clases sociales eran temas ya existentes desde los presocráticos que serán traducidas en principios filosóficos, producto de la vida política de las Polis en su manera particular de resolver dichos cuestionamientos. Nociones que terminará permeando en la comprensión del orden natural de las cosas. “Así, pues, desde el comienzo se aplicó la idea fundamental de armonía o proporcionalidad indiferentemente como principio físico o ético concibiéndosela como propiedad de la naturaleza en general o como propiedad razonable de la naturaleza humana” (Sabine, 1981: 31)

En particular resulta fundamental la noción de armonía, justicia o proporcionalidad ya que será un principio básico en las teorías del Arjé como aquella substancia primigenia que da sentido de proporción a la naturaleza. Es decir, tanto del agua (la relación entre lo frio y seco), el logos (por mencionar algunos arjés), así como los números de Pitágoras se trataba de determinar a los objetos de la realidad como variaciones proporcionales o justas de la sustancia primordial. Si bien tras Sócrates la filosofía se volcará a estudios humanistas, con Aristóteles y sus observaciones del mundo físico nunca se apartarán del mundo social esclavista que le rodea. Pero no debe perderse de vista que de la comprensión filosófica de la naturaleza se trataba de derivar un conocimiento para la vida pública. “La sustancia de los filósofos físicos reaparece, en consecuencia, como una “ley de la naturaleza”, eterna en medio de infinitas cualificaciones y modificaciones de la circunstancia humana. Con tal de que pudiese encontrarse tal ley permanente, sería posible llevar la vida humana a un cierto grado de racionalidad. Así ocurrió que la filosofía política y ética griega continuó el camino ya desbrozado por la filosofía de la naturaleza, buscando la permanencia en medio del cambio y la unidad en medio de la multiplicidad” (Sabine, 1981: 33).

Al final la ciencia moderna obtuvo la victoria sobre la teología escolástica en la medida que se preparaban las primeras Revoluciones Burguesas. Por su parte, la fenomenología de la ciencia es que los entes se atomizan a lo que parecen ser sus elementos primordiales interaccionando bajo leyes invariables; por lo tanto, los fenómenos con el conocimiento suficiente podrían ser predecibles. Estas formas de pensamiento individualizante, sostenemos, se encuentran permeadas de la idiosincrasia de la ganancia. La ciencia moderna no podía constituirse de un modo pasivo y doctrinario, sino que debía convertirse en un sistema activo y experimental. Siendo quizá estas dos características la más sobresalientes de la ciencia moderna por lo que emergió la necesidad de crear instrumentos de medición exactos. Ahora bien, salta a la vista la pregunta ¿Qué relación existe entre el amanecer del capitalismo en Europa Occidental y la formulación del Cálculo? Principalmente en la necesidad que existía de abastecer un creciente mercado mundial por parte de Inglaterra a través de la nueva industria capitalista. Nos explicamos, en tal marco referencial, se hacía evidente la constitución de una herramienta de medición cuantitativa de los cambios instantáneos . Una lectura diferente podría decirnos que en la sujeción de América a la Dependencia se originó la necesidad de dicho instrumento.

Entonces, la razón de ser de las mediciones instantáneas en tiempo continuo se encuentra en relación con la creciente mecanización de la producción capitalista-mercantilista. Hacemos referencia a las dos fuentes socio-históricas principales que impulsaron la necesidad del cálculo infinitesimal: 1) la acumulación originaria iniciada en Inglaterra desde el siglo XIII y 2) la producción mecanizada para el creciente mercado que representaba América. Ciertamente la construcción de la filosofía natural se vio reforzada por la idea de la conquista. Ya el mundo no era un lugar de inquilinaje de la humanidad concedido por Dios, sino un territorio a explotar.

Quizá aún más importante era que en el siglo XIV y XV se veía que el lugar de la humanidad en el mundo era definido y limitativo. En el Renacimiento se modificó hondamente las visiones y saberes de la realidad hasta constituir un nuevo corpus que daría lugar a la visión mecanicista que aún permea al pensamiento científico. Como es de sobra conocido, la época se caracterizó por la gran producción artística. Pero se debe tener presente que el Renacimiento fue un movimiento de élites, de una naciente burguesía como los celebérrimos Medicis, que buscaban formas de legitimar su novísima dominación a través de actos magníficos.

En ésta idiosincrasia en transición de la teología escolástica hacia la científica, el mundo no le pertenecía a la raza humana, sino que la vida era una gracia concedida por Dios en virtud del pecado original y el pacto postdeluviano. “El mundo, por consiguiente no era del hombre, sino de Dios y para Dios, de manera que el hombre vivía en el mundo como un inquilino o siervo que habitaba una parcela que le había sido graciosamente concedida, pero de la que no podía servirse como cosa suya, puesto que no la había hecho” (O´Gorman, 2006: 75). Este paradigma ideológico comenzó a resquebrajarse durante la Época de las Exploraciones y el Renacimiento, pasando del hombre inquilino al hombre conquistador de las nuevas tierras tanto como un patrón y como un predicador de una interpretación de la Biblia. No sólo fue el paso a un ser humano que tenía la posibilidad de ser el mismo, sino el comienzo del discurso individualista.


Lo que nos interesa señalar son las implicaciones del pensamiento del mundo antiguo, medieval y renacentista para el mundo moderno que fueron un nuevo modo de conocimiento y aproximación a él: la ciencia moderna; una herramienta para el dominio mundial, como uno de los pilares del futuro dominio imperialista. A pesar de ello, la ciencia que iniciará el cambio fue la matemática neoplatónica, pues las interpretaciones propias de la astrología dependían de la exactitud de sus cálculos. Estas aplicaciones matemáticas al servicio de la astrología representaron un vivo precedente para la navegación. Asunto de primerísima necesidad en el proceso de acumulación que se aproximaba tras el encuentro con América.

No es de nuestro interés hacer un estudio detallado de las necesidades de acumulación que impulsaron la conquista de América. Sólo haremos alusión a las siguientes condiciones. Tras los estragos de la Crisis del Siglo XIV y el creciente auge de los burgos, Europa Occidental requería de una mayor acumulación de capital metálico para la continua expansión de las relaciones capitalistas. Así, tras la primera victoria de la clase burguesa comerciante en Portugal en 1383 no resultó casual fuera este reino capitaneado por Enrique el Navegante que se lanzara a la circunnavegación de África para alcanzar las fuentes del oro, esclavos y las especias de la India (fuentes de acumulación primitiva del capital). Muy pronto le seguiría los pasos la unificada corona de Castilla y Aragón en buscar precisamente dichas fuentes.

Es desde éste momento que consideramos que las matemáticas tenderán a ser subsumidas en un nuevo carácter veladamente económico. “El éxito de los primeros viajes hizo que se creara una enorme demanda por la construcción de barcos y por la navegación (...) El estudio del movimiento de las estrellas adquirió valor económico y la astronomía ocupó una posición importante, aún después de que la astrología había pasado de moda” (Bernal, 1981: 388). Los viajes de exploración y conquista hacían evidente un instrumento de medición que posibilitara el conocimiento en cualquier momento y lugar del globo terráqueo la posición del barco. Una vez generalizado el método del cálculo infinitesimal con sólo tres mediciones astronómicas era posible conocer la posición de un navío a mitad del océano.

Inmediatamente cabría preguntarse sí los reinos hispánicos a inicios del siglo XVI que se encontraban por delante en la exploración y conquista por qué no emergió allí el cálculo infinitesimal dado que lo hubiesen requerido. Perfectamente podría argumentarse, no sin razón, que los reinos ibéricos carecían de una tradición empirista, sino que en ellos los saberes jurídicos y teológicos tenían mayor peso y cuya consecuencia sería hondamente inoculada en sus posesiones americanas. Ello hasta cierto punto es verdad, pero la necesidad hubiese empujado a la creación de herramientas empíricas lógico-matemáticas tarde o temprano. Creemos que el tipo de acumulación originaria centrada en la extracción de metales preciosos más no en la producción de mercancías en masa, practicada por España y Portugal no hizo necesaria la creación de instrumentos, sino que eventualmente se convirtieron en mediadoras de importaciones para sus colonias. Pero si fue el caso de las crecientes potencias que eventualmente se harán cargo de la producción de mercancías para el mercado americano, en particular Inglaterra, Países Bajos y Francia. Allí las relaciones sociales de producción más propias del capitalismo se hallaron más maduras y requerían de la subsunción de un tipo de ciencia más bien empírica.


Así creemos que aconteció con otras civilizaciones que podrían haber necesitado una herramienta cuantitativa, hacemos referencia a China durante los tiempos análogos a los de Colón. Inmediatamente salta la pregunta de si la magnífica flota del tesoro comandada por el almirante Zhen no habría requerido también de un instrumento análogo al cálculo diferencial. Ciertamente la construcción de naves de tal porte magnifico no podría realizarse sin cálculos técnicos. Las condiciones de la formación social china, de un modo de producción asiático , impidieron una subsunción de su ciencia a un aparato productivo en constante expansión que potencialmente ya existía. No hacemos referencia a los avances técnicos que existían en el Imperio Celeste y que ciertamente se encontraban en la delantera a Europa Occidental, o incluso en la existencia del método de exhausción (es decir, inscribiendo triángulos o polígonos cada vez más pequeños dentro de un círculo para obtener una medición cada vez más precisa) que era igualmente conocido. Sino que esta potencialidad no pasó al acto y ciertamente, aunque existían los fundamentos, no puede decirse hasta el momento que existió un cálculo infinitesimal en China.

Por otra parte, el proceso de acumulación originaria, entiéndase el proceso de separación del trabajador de sus medios de producción, iniciado desde el siglo XIII en Inglaterra necesariamente tiene un reverso. Los campos antes destinados al cultivo comunitario, una vez privatizados para la producción lanera hacen que la producción de alimentos descienda; más aún si los seres humanos desplazados a los burgos necesitan alimentos. No hay más solución que importar granos y alimentos diversos. Dicho proceso se asentará con cada vez mayor seguridad tras la Crisis del Siglo XVII que marcará, y sobre todo para la Gran Bretaña, el triunfo del nuevo modo productivo capitalista. Esta división internacional del trabajo creciente será tradicional para América Latina tras la Guerra de Sucesión Española. Es decir, la exportación de alimentos y materias primas por productos manufacturados implica una mecanización o creciente composición orgánica del capital y por ende de herramientas cuantitativas exactas. Nos explicamos, el desarrollo de la sociedad burguesa, que requería la expropiación de los medios de producción; la movilidad de la fuerza de trabajo; un estatus contractual que legalizara a la propiedad privada y se formalizara la toma del poder de la nueva clase dirigente tuvo su adalid en el desarrollo de la ciencia moderna del siglo XVIII que se definió como la solución de problemas técnicos que requería la ascendente industria. Y ello per se resulta coherente dado que Inglaterra se encontraba en camino de la Primera Revolución Industrial.

La nueva industria metalúrgica, tan estrechamente unida a la guerra dio un paso decisivo en el refinamiento de los nuevos hornos. No es extraño que incluso Inglaterra suministrara a España misma de su armamento, tanto en artillería como en transportes navales, como se hizo evidente durante el reinado de Carlos III de Bourbón. Entonces, el método de fluxiones de Newton debe ser comprendido en el paso productivo de la leña y el hierro dulce a la hulla y el hierro de los altos hornos. De las mediciones empíricas, por ejemplo, de la producción etílica a las mediciones instantáneas tan necesarias para la provisión de grog para la Royal Navy. Así bajo estas necesidades de la nueva clase burguesa es que la obra matemática de los pensadores Newton y Leibniz fuera subsumida abstrayéndola de la completitud de sus obras filosóficas e incluso teológicas como veremos a continuación.

No resulta sorprendente que los intereses nuevos del futuro liberalismo como la defensa de la propiedad privada para la felicidad del género humano encontraran paralelismos en los fines de la ciencia moderna. Como Desmond Bernal recuerda de Bacon. “Desde un principio, Bacon expresó explícitamente la doctrina de que “el verdadero y legitimo fin de las ciencias consiste en que la vida humana sea enriquecida con nuevos descubrimientos y nuevas fuerzas” (Bernal, 1981: 422). La idea de progreso y propiedad privada del liberalismo. Ideología liberalista plasmada en el Iusnaturalismo iniciado por Hobbes donde la existencia humana se reduce a la posesión de la propiedad privada, de la que dirá Locke que será la fuente la de la felicidad humana.

Nótese el origen de clase de los primeros científicos o impulsores de la misma. “Los virtuosi del siglo XVII fueron hombres con recursos independientes, principalmente comerciantes, terratenientes medianos y profesionistas liberales acomodados: médicos, abogados y no pocos clérigos. Les fue posible obtener el patronato real, pero nunca consiguieron mucho dinero de los monarcas para la ciencia (...) Los virtuosi tuvieron que financiar la ciencia de sus propios bolsillos. Sólo que estos bolsillos eran amplios y se llenaban rápidamente con el gran incremento del comercio, cuyos beneficios fluían a los mismos países en donde florecía la ciencia” (Bernal, 1981: 431). Aquí el autor hace referencia a los beneficios monetarios que recibía esta nueva clase impulsada por Cromwell tras la victoria sobre Holanda que impuso a las Actas de Navegación.

Sin embargo, no deseamos presentar un razonamiento lineal o tergiversador donde pareciera que señalamos que Newton al pertenecer a una formación social en vías del capitalismo, entonces de forma determinista los objetivos en la enunciación del cálculo infinitesimal eran meramente burgueses para la extracción de mayor ganancia. O peor aún, que Newton era un burgués luego pues su pensamiento era orgánico a su clase social. Lo que deseamos señalar en realidad es que sin atender a la clase social del pensador sus aportaciones serán articuladas de acuerdo a su contexto. Es decir, lo necesario en las formaciones sociales promueve una forma de subsunción de la ciencia de acuerdo a las necesidades de acumulación del naciente capital.

Veamos en el caso de Newton. En realidad, la obra del filósofo inglés ciertamente no debe reducirse al racionalismo de los Principios Matemáticos, sino que esta se encuentra a travesada por un pensamiento metafísico de mayor complejidad; los verdaderos objetivos de Newton a lo largo de sus diferentes obras eran teológicos: eran la comprobación de Dios a través de la naturaleza en una olvidada teología natural. Ciertamente dejaremos para ocasiones posteriores una revisión de la teología de Newton francamente arriana, pero señalaremos que existía una unidad en su pensamiento científico y religioso.

Ante un profundo conocimiento de las Sagradas Escrituras y los estudios de la filosofía natural de su tiempo, Newton consideraba que existía una unidad fundamental entre ambos que era Dios mismo, resultando consecuente que a través del entendimiento de las manifestaciones naturales dar cuenta de la manifestación de la sabiduría ultraterrena. Entonces la filosofía natural, debía confirmar a la teología.

Esta unidad intrínseca resulta más clara en un manuscrito anterior a los Principios llamado Sobre la gravitación y el equilibrio de los fluidos. Iniciando con una interpretación del espacio como un fundamento de los fenómenos mecánicos, no obstante, él consideraba que

“El espacio no es una sustancia ni un accidente, decía Newton, sino que es, desechando la relevancia tradicional de las categorías aristotélicas, “un efecto emanativo de Dios” coeterno con Dios y prerrequisito necesario para todo ser (…) Newton insiste en que en que no es posible “pensar que el espacio no existe”. Lo que quizá es más notable que el concepto de espacio de Newton es la teoría íntimamente relacionada del cuerpo. Admitiendo desde el principio que la noción de cuerpo es especulativa, Newton no obstante insiste en que “está en el poder de Dios”. Sugiere que el cuerpo puede no ser más que una parte del espacio que Dios, por un acto de voluntad, hace impenetrable” (Henry, 2008: 75-6).

Puede verse claramente la comprensión de un Dios que crea por medio de su voluntad extendiendo su Soberanía a todos los aspectos de su creación. No obstante, desde aquí puede vislumbrarse vagamente la no unidad entre espacio y tiempo característica de la física newtoniana ya que la unidad sólo puede ser alcanzada por Dios mismo y que a su vez no podría ser proclive de ser abstraído por el formalismo matemático (a diferencia del espacio-tiempo unido de Einstein). Además, ello resulta comprensible dado que el formalismo es precisamente fenomenológico y sólo puede matematizar lo observable empíricamente. En otras palabras, pueden deducirse las leyes del movimiento y la gravedad, pero queda bastante claro que no se comprende la sustancia causal de la gravedad en sí misma.

Newton, tras la primera edición de Los Principios Matemáticos, su autor agregó un apartado que llamó El Escolio General de un tono no menos teológico: enunciar la verdad de Dios; descubrir la sustancia era descubrir a su Creador. Así acontecía con los objetivos de sus estudios alquímicos, encontrar la dependencia de la materia de Dios, “En vista de que la materia es, para Descartes, por su propia naturaleza pasiva e inerte, si se pudiera demostrar que la materia de hecho estaba dotada de principios de actividad, tales como la atracción gravitacional, esto constituiría una evidencia poderosa de la existencia de Dios. Los principios activos no son natural ni lógicamente inherentes a la materia (a la manera como lo es la extensión, por ejemplo), así que sólo pueden haber sido implantados en la materia por un supremo creador” (Henry, 2008: 82). Lo cierto es que tal unidad de pensamiento (ciencia y teología) que a primera vista puede resultar desconcertante para el racionalista moderno nos muestra precisamente algo que no debería utilizarse: un criterio dualista tan propio de la filosofía Occidental: ser o no ser; racionalista o religioso, considerar un solo aspecto como el definitivo es un acto de tergiversación, es un fetichismo que la filosofía desde Platón tiende a empujar. A decir verdad, Newton no era un mecanicista; aunque la física construida tras sus obras si fueron construidas siguiendo un patrón muy diferente.

Así, como nos recuerda, André Betancour sobre un más cierto organicismo de Newton, en la obra La Óptica puede verse precisamente no un pensamiento mecanicista:

“El objetivo básico de la filosofía natural es argumentar a partir de los fenómenos, sin imaginar hipótesis y deducir causas a partir de los efectos hasta alcanzar la primerísima causa que ciertamente no es mecánica y no sólo para develar mecanismos sino cuestiones como ¿qué hay en lugares vacíos de materia y como es que el Sol y los planetas gravitan unos a otros sin que haya entre ellos materia densa? ¿De dónde surge que en la naturaleza no haya nada vano y de dónde todo ese orden y belleza qué vemos en el mundo?” (Newton en Betancour, 2002: 120)

Es así como puede observarse una clara abstracción del pensamiento de un autor al ser articulado (y en ésta caso mostrado) de una manera tergiversada tomando sólo aquello que será beneficioso para una clase social.

En efecto, no es casual que, en los albores del Imperio Británico, eventualmente por vías legales e ilegales inundará con sus mercancías a sus colonias y a las de los reinos ibéricos se comenzaran a instaurar las sociedades científicas. Y sin embargo ¿Cuáles fueron las consecuencias científicas e ideológicas tras la enunciación del cálculo diferencial? El determinismo, como la pretensión de poder predecir con exactitud el devenir de los fenómenos; la linealidad, como la pretensión de deducir un fenómeno a relaciones de causalidad proporcional (A es proporcional a B) y las causalidades lineales donde el presente fenómeno es el resultante de uno anterior (B es consecuencia de A). Productos del pensamiento muy alejados en lo que Newton y Leibniz se proponían originalmente. En la ciencia, el determinismo y mecanicismo cuya figura que encarna en su forma más extrema mentada forma de pensamiento lineal y determinista es el Demonio de Laplace.

Laplace, una eminencia de la astronomía, matemáticas y física, era un fiel representante del racionalismo determinista y limitante de la realidad preponderante de su momento histórico. Es decir, la propuesta laplaciana se inscribe como una continuación directa de la idiosincrasia iluminista burguesa del siglo de las luces de causas y consecuencias directas y proporcionales. En contraposición directa con el paradigma teológico-escolástico de la clase dominante feudal y su aparato ideológico tal y como ya se ha expresado. Basado en las aportaciones newtonianas sobre la gravitación y las ramas del cálculo diferencial, Laplace enunció su teoría del origen del sistema solar por la rotación de una nube de gas y polvo giratoria o hipótesis nebular; así como una teoría de las probabilidades. No obstante, el sustrato epistemológico implicaba que el conocimiento del movimiento y posición de una partícula, era posible predecir su movimiento en todo momento. Quizá la consecuencia más encarnada del racionalismo determinista lo representa la metáfora del demonio de Laplace. Dicho autor considera al demonio no como una entidad maligna, sino como un ente más cercano al daimón griego o el genius romano; es decir una entidad de cualidades ultraterrenas, a semejanza del demonio de Maxwell. Nos explicamos, el demonio de Laplace expresa que una entidad con el conocimiento suficiente de la posición y movimientos de la totalidad de las partículas, podrá predecir el curso del universo en todos los momentos subsecuentes. De tal omnisciencia podrían deducirse las leyes y ecuaciones simplificantes que explicaran la totalidad de las causalidades y efectos universales; hasta llegar a una autentica enunciación de la ecuación primigenia de la que derivaría el entendimiento del devenir del todo. Nos aventuramos a sostener que una reminiscencia o prolongación de esta ideología cientificista la encontramos en las pretensiones de totalizadoras de las modernas teorías de la física teórica como la teoría M, y los intentos de modelizar el comportamiento humano por parte de la escuela neoclásica para dar algún soporte a su teoría ahistórica (o antihistórica) del ser humano y la microeconomía.

No obstante, el primer y contundente inicio del retroceso del determinismo existió poco después de Laplace con el problema de los 3 cuerpos expuesto por Poicaré en su estudio de la órbita de 3 cuerpos. Quien observaba de manera algebraica que el movimiento se volvía azaroso e impredecible. De una manera diferente trata el azar y la indeterminación la moderna física, ex ante y ex post de las guerras mundiales, desde la síntesis einsteniana del efecto fotoeléctrico y la naturaleza del fotón; es decir: la física cuántica. El cimiento de esta rama de la física es precisamente el indeterminismo y la incertidumbre, si acaso, una aproximación estadística. Es de mencionar un principio y un experimento hipotético de la microfísica: el principio de incertidumbre de Heisemberg y el experimento del gato de Schrödinger. El primero expresa que sólo podemos conocer la posición o la velocidad de una partícula, pero no ambas cosas; principio que no deriva de limitaciones tecnológicas sino de limitaciones en las leyes naturales, pues el electrón (o cualquier otra partícula) al ser golpeada por un fotón, informará de su posición, pero no de su dirección. Por otra parte el experimento hipotético del gato de Schrödinger es, considero, un ejemplo paradigmático de la incertidumbre. El experimento reza que si en una caja hay un gato y una ampolla con un elemento radioactivo con un temporizador, puede que haya estallado o no la ampolla y por lo tanto el gato puede o no estar vivo, o de otro modo estar en el estado límbico vivo-muerto; la conciencia del observador en este paradigma nanoscópico representa un parámetro de existencial y determinante en el efecto de los fenómenos. De tal modo que la conciencia omnisciente de Laplace no tiene lugar en la realidad. A decir verdad, y a semejanza con las ciencias sociales, el observador forma parte del universo observado implicando una participación en la incertidumbre circundante, lo que en sí mismo hace impracticable la separación objeto-observador que requiere el determinismo totalizante.

El demonio laplaciano encuentra un nuevo e insuperable con el emergencia de las ciencias de la complejidad impulsadas por el imperialismo norteamericano desde la postguerra. Nos explicamos, la comprensión y aprehensión de los procesos estocásticos (que implican elementos determinísticos y no determinísticos en un sistema), el azar (como una impredictibilidad de los procesos) y el caos (como un orden de los procesos no predecibles) derivados de las observaciones ya no sólo de la física, sino de la química, la biología y las ciencias sociales ha implicado una trasposición de aportaciones que por si mismas implican un paradigma creciente de alcances operativos y sociales aún por explorar que superan al daimón de Laplace.

Finalmente fue en el caso específico de la Inglaterra posrevolucionaria; la Revolución de los Precios (el proceso inflacionario tras el ingreso del tesoro americano); el incremento del mercado mundial crecientemente dominado por Inglaterra fueron acicate para la complejización de la industria, de la nueva máquina y del modo en que se subsumió la ciencia como una herramienta de dominación de la naturaleza y el ser humano. Indirectamente a las necesidades de la burguesía se debe la formulación de una rama de la matemática continua. De una manera inconsciente e indirecta, el cálculo ha servido como una herramienta de dominación del Centro a la Periferia (por usar las categorías de la teoría de la Dependencia) así como de explotación a la naturaleza. Incluso de la necesidad histórica de su aparición puede notarse un hecho, la teoría del cálculo se encontró a la saga de su fundamentación pragmática. De allí las diversas antinomias que suscitaron controversias.

 

2. En torno a la metafísica de los infinitésimos

 

No sólo es pertinente estudiar a la necesidad histórica (la necesidad en un sentido hegeliano) sino el proceso filosófico y matemático que originó las mediciones instantáneas. Es de nuestro especial interés señalar dos fuentes de las que se nutrió dicha rama de la matemática que permite el concepto de la diferencial: un uso particular de infinito y del continuo como una serie sin rupturas en el tiempo que creemos se encuentra vinculado a las razones históricas ya mencionadas. Pero en éste apartado deseamos hacer hincapié en un hecho: la categoría de infinito y continuidad (particularmente en Leibniz) es esencialmente idealista antes que materialista e incluso resulta contraria no sólo a la dialéctica sino a la complejidad en sí misma. En tal caso no realizaremos una genealogía del método de fluxiones, de la exhaución y medición de áreas irregulares en sí. Lo cierto es que una aplicación de salto de lo discreto a lo continuo requiere de la consideración del infinito en una ciencia que trata de aprehender al infinito.

El objetivo (su teleología) de las matemáticas y las ciencias formales desde Euclides ha sido la construcción de un corpus monolítico de verdades absolutas de una manera, llamémosle transhistórica. De allí la necesidad de deducir todo su cuerpo desde verdades autoevidentes (axiomas) compatibles con la contradicción, haciendo innecesaria su comprobación. El precio que paga por su inocuidad es la vacuidad y divorcio de los axiomas respecto a las transformaciones de los entes en si, más importante aún, con su complejo y variable devenir. El precio a pagar es una lógica epifenoménica de los entes a cuantificar. En tal caso, la fundamentación organiza las estructuras y desarrollo de las ciencias formales; una fundamentación dialéctica organizará desde la contradicción, movimiento y transformación. Bien afirma Silvia Rivera (aunque diferimos enormemente del neologismo postciencia en consonancia con la postmodernidad), “sólo reconociendo que en éste nuevo horizonte la pretensión de una fundamentación teórica y última es imposible podremos dirigir nuestro trabajo hacia la invención de nuevas modalidades de justificación de los conocimientos. Justificaciones que no serán ya ni teóricas ni últimas, sino provisorias y prácticas” (Rivera, 2000: 85).

Las matemáticas del cálculo, las fluxiones y las fluentes tienen su fundamento en una aprehensión del infinito, el continuo y su relación con el movimiento mecánico. En la actualidad utilizamos más la construcción del continuo de Leibniz (la más desarrollada cabe decir) que puede sintetizarse en cuatro principios: 1) plenitud (la realidad se haya plenamente ordenada desde series y niveles infinitamente grandes a infinitamente pequeños); 2) continuidad (no hay discontinuidades); 3) gradualidad lineal (es decir, que entre los extremos de dos series continuas no hay saltos ni vacíos en la naturaleza; la diferencia entre entidades de la misma serie tiende a ser despreciable) y, 4) razón suficiente (la relación lógica entre el sujeto y predicado, es decir, nada ocurre sin una razón precedente).

Para el cálculo, en particular para Leibniz, es una serie continua en el tiempo y a su manera la enunciación del cálculo infinitesimal es la culminación de un proceso histórico milenario, dado que se nutrió de fuentes no sólo griegas sino árabes. Hacemos referencia a la abstracción y generalización de las matemáticas en los albores de la modernidad. Toda cualidad del ente podía ser reducida a una literal cuantitativa. Dicho recurso evita las dificultades de utilizar palabras haciendo posible la generalización metodológica matemática. El paso decisivo lo dio Galileo al unir la física con las matemáticas. “Para comprender la caída de los cuerpos -y por consiguiente, el movimiento de las balas de cañón en el aire y el de la Luna en el cielo-, es esencial comprender la muy difícil noción de velocidad instantánea. Matemáticamente corresponde a la noción de diferencial: dx/dt, la relación entre dos magnitudes que se mantiene constante, aun cuando las magnitudes mismas decrezcan infinitamente” (Bernal, 1981: 411). Desde una perspectiva filosófica, el dualismo vino a asentarse de una manera definitiva en el cuerpo de la filosofía natural. La materia y el espíritu. De donde la ciencia moderna se ocupará de la sustancia tangible y la filosofía cada vez más a la sustancia incorporea.

Para Leibniz las matemáticas y en particular el cálculo responde a sus principios metafísicos. En particular el espacio, tiempo y movimiento. Dichos principios comparten ciertas características: "coexisten para referirnos a eventos en el mismo espacio o limite espacial, sucesión para referirnos a eventos según la relación de orden de antecedente-consecuente, y adyacencia para referirnos a las posiciones ocupados sucesivamente por un objeto en movimiento” (Vargas, 2009: 115). En efecto, el concepto matemático de continuidad se encuentra inmerso en un isomorfismo que vacía de contenido u esencia a los conceptos. La misma categoría puede ser reducida y concatenada a una cantidad. Tanto para Newton pero sobre todo para Leibniz, en el continuo no hay saltos repentinos ni discontinuidades. No obstante, la experiencia natural y social ha demostrado lo contrario, sólo hemos de mencionar respecto al continuo que pequeños cambios acumulativos devendrán en una transformación que cambiará la dinámica; esto lo hayamos en la transición de fase, la evolución biológica y la revolución histórica .

Así Leibniz introdujo el infinito y el continuo en la concepción del cálculo. A su manera Newton y Leibniz abordaron esta dicotomía entre la unidad y la totalidad infinita. Ambos filósofos naturales superan la contradicción de la antigua oposición:

“Leibniz recupera esa antigua oposición entre infinito potencial o cantidad continua en que lo dado actual sólo ideal y potencialmente está dividido en partes, y un infinito actual o cantidad discreta en que las partes preceden al todo, el cual resulta de su composición (…) Leibniz lo entiende [el infinito] como un objeto conceptual, entendiendo lo continuo como perteneciente al ámbito de lo ideal y de los conceptos abstractos físico-matemático, mientras que lo discreto se refiere al ámbito de lo actual y de la realidad metafísica (…) hay que pasar de poner el infinito en el objeto a ponerlo en el espíritu, en una ley ideal que se convierte en el instrumento de investigación por excelencia”(Cabañas, 2010: 150).

Esta aprehensión del infinito resulta sorprendentemente más propia de la filosofía idealista que de la naturalista. Esto resulta evidente al notar que Leibniz era contrario al atomismo, él descreía de la partícula última, sino que existen mundos divisibles hasta el infinito (algo evidente en el método de derivación). Entonces las mónadas del filósofo adquieren sentido al ser átomos metafísicos del cual podría deducirse la totalidad. Así el continuo es infinito pero en esencia homogéneo; así, las gradaciones entre un nivel de existencia (en la modernidad diríamos micro, meso y macronivel) y otro no se llevan a cabo por sobresaltos. También es así que el sinequismo del filósofo germano se entiende y este se inscribe en la medición de cambios instantáneos infinitesimales.

Por su parte Newton dedicó menos espacio a la reflexión de la metafísica de las matemáticas y el cálculo de las fluxiones. En sus Principios Matemáticos nos propone una serie de lemas geométricos en diferentes expresiones del método de exhaución entre curvas finitas inscritas en figuras geométricas. Así, en sus comprobaciones introduce a las cantidades evanescentes. No como un átomo cuantitativo sino como una magnitud que disminuye sin límite. Sobre el fundamento de dichas cantidades el autor nos comenta:

“La primera razón de cantidades nacientes es aquella con la cual nacen. Y la primera o última suma es aquella con la cual comienzan o cesan (…) Hay un límite que pueden alcanzar, pero no exceder, la velocidad última (…) Y como tales límites son ciertos y definidos, determinarlos ya es un problema estrictamente geométrico. Pero cualquier cosa geométrica puede usarse para determinar y demostrar cualquier otra cosa que sea geométrica también (…) esas razones última con las que se desvanecen las cantidades no son verdaderamente las razones de cantidades últimas sino límites hacia los que siempre convergen las razones de cantidades que decrecen sin límite, y a los cuales se aproximan más que por ninguna diferencia dada, pero sin ir más allá ni efectivamente alcanzarlo hasta disminuir infinitamente las cantidades” (Newton, : 72).

De su interpretación metafísica puede discernirse que su física requiere del absoluto de una manera abstracta. El absoluto como un ser en sí como el fundamento determinante del espacio y tiempo relativo. Un marco de referencia a los entes mismos siendo este marco último en el que pueden comprenderse a las cantidades evanescentes.

Con este bagaje metafísico de cuya versión más acabada la presenta Leibniz (plenitud, continuidad, gradualidad y razón suficiente) se constituyó el cálculo y no estuvo exento de controversias por su naturaleza ambigua, sobre todo en cuanto a los infinitésimos. El idealismo no pasó desapercibido e inmediatamente se hicieron notar dichas inclinaciones. Las críticas vertidas desde las observaciones de Berkeley hasta la formalización definitiva de Cauchy se concentran en 3 antinomias.

La descomposición del movimiento continúo en discontinuo. Es decir, la medición será más precisa si la división de ∆x es cada vez menor, pero la derivada se mantiene constante, entonces surge la pregunta ¿Si una magnitud cambia, cómo puede ser exacta al mismo tiempo? Se deduce que se termina alcanzando lo continuo desde lo discontinuo. Por otra parte, las líneas curvas son tratadas como líneas rectas. Por ejemplo, de una ecuación cuadrática (por ejemplo: X2) cuya gráfica es una parábola se tendrá una recta con una pendiente constante (en este caso 2x) al derivarse. Es decir, el intervalo infinitesimal no ha variado aunque si lo haya hecho x y f(x) dado que se tiene otra línea. La recta resultante de la diferenciación es tangente a la curva original y representa la variación en un intervalo de forma constante. Aún más interesante resulta la igualdad de la desigualdad dx + x = x. La relación dx + x = x es posible si x = 0, pero no es el caso, porque dx es un infinitésimo que no es cero. Es el ser y la nada simultáneamente; una relación cuantitativa sin cantidad; el ente determinado que regresa a la indeterminación.

En particular, el punto 3 es donde se han vertido la mayor cantidad de críticas. No es descabellado caracterizar la historia del cálculo diferencial como la represión progresiva de las cantidades infinitesimales, es decir, la justificación de que una cantidad con una variación infinitesimal sea simultáneamente la misma. Aunque de ningún modo es el propósito de éste escrito hacer una genealogía de esta contradicción de la igualdad-desigualdad ha resultado en un debate centenario donde cada matemático eminente desde Newton ha dado su veredicto ante una flagrante violación de la lógica clásica, tales como Euler, D´Alambert y Lagrange, ya sea para señalar que no hay contradicción en una cantidad que es casi cero puede tomársele como tal. La solución que se utiliza hasta el momento es el uso de los limites introducidos por Cauchy. El concepto de Límite, es decir, una aproximación a un punto sin tocarlo realmente; la tendencia a un punto determinado. De esta manera se salta el charco de lodo. una tendencia a que no toca el punto, que a nuestro parecer es una mera tregua en la debida integración de un principio contradictorio que para la lógica clásica representa una autentica antinomia. No debiera ser así para una lógica dialéctica.

La defensa más extensa de los infinitésimos fue realizada desde la postura materialista. Tal fue el caso de la dialéctica materialista que la realizó Engels como una prueba del materialismo. Su argumento a favor del cálculo se basa en la relación diferencial que se establece entre cantidades cualitativa y cuantitativa, entre una cantidad cualquiera y un infinitésimo. Es decir, no son comparables ambas cantidades de tal modo que no existe conflicto entre dx + x = 0. “Lo infinitamente grande no sólo es diferente de lo infinitamente pequeño, sino que entre ambos hay una oposición cualitativa infranqueable (…) se vuelven cualitativamente inconmensurables. Los infinitésimos no son cantidades imaginarias, sino que existen en la naturaleza” (Engels: 222). Es decir, el autor hace referencia que los infinitésimos son magnitudes empíricamente verificables. Por ejemplo, la estatura humana es mínima en comparación con el diámetro de la Tierra; en cambio la distancia entre el Sol y la Tierra es infinitesimal en comparación con las dimensiones de la galaxia; a su vez, la distancia entre dos galaxias es infinitesimal en comparación con el universo conocido. La aportación de éstas afirmaciones es mostrar que las relaciones numéricas entre infinito e infinitésimo es una relación producto del dinamismo.

Como hemos expresado, nos encontramos en desacuerdo con la defensa de una raíz metafísica idealista e incompatible con diversos fenómenos que las actuales ciencias naturales y humanas comienzan a develar como esencialmente dialéctico. Es decir, el movimiento lineal y determinista es per se incompatible con la complejidad. Ello no indica que no ha sido una herramienta que permita la aproximación a estos fenómenos.

Por su parte Alain Badiou, siguiendo la tradición dialéctica, presenta una solución verosímil a la ancestral contradicción de las cantidades evanescentes, introduce el concepto de infinito-punto. Es decir, es una marca suplementaria o vacío inalcanzable para un determinado campo. “El infinito es un más allá propio de los algoritmos de campo: la marcación de un punto inaccesible” (Badiou, 1972: 117). Es un sobrecampo del anterior donde estas construcciones nuevas pueden abarcar aún más que sus predecesoras, pero que serían imposibles sin la existencia del campo anterior o infinito-soporte. Así el autor expresa de manera lapidaria: “El infinito-punto es el diferencial del infinito soporte” (Badiou, 1972:119).

El infinitésimo conjunta dos categorías contradictorias, el atomismo y el sinequismo; entre lo divisible y lo indivisible. Siguiendo a Hegel de cerca, el autor francés refiere acerca de la solución dialéctica. El átomo no es un infinitésimo del continuo, no es un punto en la recta numérica, sino una magnitud que se produce sobre el fondo del continuo. Así entonces el verdadero principio de la dicotomía es el vacío. De manera categórica se expresa que en el vacío hay átomos pero no hay átomos del vacío.

“la continuidad geométrica es el vacío donde los átomos indivisibles inscriben relaciones de tamaño. Y esta inscripción no emprende la divisibilidad al infinito del continuo, puro posible dejado en blanco por una relación de indivisibles que no denota su ser • cuantitativo, sino su figuración en la estructura formal (cualitativa) de esa relación.

A su vez, la divisibilidad del continuo no libera ningún indivisible propio. Así como los indivisibles no pueden componer el continuo, la descomposición del continuo no puede apoyarse en un indivisible, ni siquiera en la realidad de una parte “infinitamente pequeña”. La división del continuo se deshace apenas planteada la conexidad inseparable del todo” (Badiou, 1972:125)

Continuando el razonamiento, esta relación entre infinito, infinitesimal y finito sólo tiene sentido y realidad al establecerse una relación; dx/dy existe en la medida que se encuentre en relación-a una magnitud. Es decir, sólo pueden existir en la concreción, nunca en la abstracción. En nuestra opinión el infinitésimo por sí mismo no es un número determinado, sino una relación. Al final sostenemos que la dialéctica materialista requiere de herramientas cuantitativas diferentes y que desde ésta una interpretación de ésta filosofía pueden resolverse las contradicciones del uso de los infinitésimos las hasta las fundamentaciones mismas de las matemáticas modernas.

 

3. Consideraciones finales y algunas reflexiones del infinito

 

A lo largo del presente escrito hemos realizado un breve estudio de los orígenes históricos y filosóficos del cálculo infinitesimal, ello con el propósito de mostrar (o explorar) su carácter no definitivo y al mismo tiempo veladamente clasista. En efecto, hemos estudiado la necesidad histórica que orilló a una determinada interpretación y subsunción del infinito para la medición de las velocidades instantáneas; pero que a su vez fue la culminación de un proceso histórico propio de las matemáticas. Y por su parte, la comprensión del infinito y el continuo provienen de una metafísica isomorfista. En nuestra opinión, es en la praxis y la necesidad histórica en el proceso de acumulación que se entiende el génesis del cálculo, la subsunsión que sufrió y la razón de ser de los infinitésimos. Finalmente, el cálculo no puede prescindir de los infinitésimos a pesar del uso extendido de la herramienta del límite. De acuerdo a Leibniz los infinitésimos representan más bien un algoritmo donde las variables a diferenciarse se vinculan de una manera particular.

Así pues, nosotros creemos que una interpretación de la realidad por medio de la filosofía natural que buscaba la comprobación debería tener a su vez una expresión cuantitativa. En tal caso, la renuencia de Hegel a expresar su movimiento dialéctico idealista en matemáticas tenía y no tenía razón. Tenía razón en evitarse dicho paso debido a que las ramas del cálculo imperantes pretenden conocer en todo momento la trayectoria de una función, en particular las diferentes formas de velocidad de variación de la misma, y de la operación inversa que consiste en obtener la función original de esta variación en las integrales. Tal pretendida capacidad predictiva, y ciertamente su operatividad, han permitido su difusión en las demás ciencias naturales. En otras palabras, la matemática y la lógica han sido construidas para evitar las contradicciones intrínsecas de la naturaleza y su evolución; son esencialmente antidialécticas. En consecuencia, el compromiso con el determinismo (del que a su manera el cálculo es participe) es quien trata de demostrar la anterioridad de los individuos a la sociedad y de esa manera se instrumentaliza a la ciencia.

Respecto a las antinomias del cálculo infinitesimal, sería tentador argumentar que si ∞ + 1 = ∞, entonces dx + x = x son equivalentes sí x es una medida infinita respecto a dx. Es decir, hay magnitudes que son incomparables, que nada añaden a aquellas a las que se unen, en tal caso dx no añade nada a x, como un punto a una línea o una línea a un plano. Esto es parcialmente cierto, aunque la solución de la antinomia de los infinitésimos representa un sinsentido para la lógica formal: el infinitésimo es y no es simultáneamente A es diferente de A. La solución se encuentra en la filosofía dialéctica que puede conjugar las contradicciones de la realidad. Es decir, el inicio de la lógica más bien podría fundamentarse desde una totalidad indiferenciada que a su vez es la nada, dado que la infinitud de determinaciones, condicionantes y categorías se encuentra en completa abstracción (desvinculación absoluta); donde no hay determinaciones del ente, no hay movimiento, no hay devenir. Instante en que el infinito, la totalidad y la nada son lo mismo. Al decir, desordenado y vacío nos sugiere conceptos contradictorios per se, el algo y la nada. Quizá una potencia absoluta recuperando a Aristóteles. En éste aspecto Hegel razonaba bien al comparar al ser con la nada. Nosotros consideramos que el ser es infinito pero a su vez es nulo si carece de determinaciones ónticas; así pues el infinito es finito de acuerdo a su referencia como podría estar de acuerdo Einstein. El acto de creación vendría a ser el tiempo 0 con el devenir e inicio de la historicidad. Allí es donde cobraría sentido y realidad la relación entre finito e infinito. Es decir, el cálculo fue diseñado para responder a un infinito continuo y gráficamente expresado en curvas “suaves” donde, por así decirlo, el lápiz no se separe de la hoja. Este es más bien un caso especial en la naturaleza más que la totalidad de las relaciones fenoménicas naturales y sociales. Lo cierto es que el continuo no sólo no es homogéneo sino que se compone de saltos cuantitativos y cualitativos no continuos en equilibrios puntuados como señalara Hegel y Badiou. Yendo más allá del infinito-punto, incluso, así pueden establecer relaciones entre infinitos. Un finito puede ser infinito al relacionarse en diferentes contextos (en relación-a)., a semejanza de la ruptura de la geometría euclidiana en un mundo de 4 dimensiones donde los triángulos tienen más de 180°, las paralelas se tocan, etcétera. Allí, esta variabilidad de lo inconmensurable puede dar propiedades diferentes a dichas entidades de acuerdo a su relación con su contexto y su historicidad. De esa forma se pueden mantener las características de los infinitos no numerables de Cantor tratando de explorar más allá.

Por otra parte ¿Qué papel juegan teóricas figuras geométricas que conjuguen en sí mismos tanto al infinito en potencia y actual? Tales estructuras debieran ya ser con un perímetro infinito en un área finita y viceversa, en un perímetro finito concentrar un área infinita (a ello podemos agregar magnitudes, no sólo como representación sino como cualidades en sí de diferentes entidades matemáticas). La inconmensurable iteración de una totalidad en si misma en conmensurable transformación; una forma del infinito verdadero de Hegel. Para el primer caso encontramos a los conocidos fractales que además poseen diversas cualidades como la libertad de escala y la autosemejanza. Para el segundo caso se tendría a las teóricas dimensiones enrolladas sobre si mismas como las propuestas por Calabi-Yau que se utilizan en la moderna teoría de supercuerdas y de la más totalizadora teoría M.

La consecuencia de realizar mediciones sobre entes o variedades no diferenciables (que no puede hacer tangencia una recta a una curva por tanto no hay derivación ni integración) nos orilla al borde del pensamiento determinista y al mismo tiempo nos lleva a las profundidades de la lógica como fundamento de la matemática misma. Aún más allá, nos lleva directamente a la crítica de la lógica, del entendimiento del ente y el dualismo de la filosofía occidental. Nos encontramos en desacuerdo con la conclusión de Rivero respecto al papel monolítico de la lógica y la matemática. “Si entramos en contradicción (…) no ya con una verdad preexistente sino con un imperativo práctico, si imaginamos las reglas lógicas y matemáticas como flexibles y cambiantes (…) No llamaríamos falsas a las reglas de medir así construidas, pero si inservibles, porque no servirían para los fines prácticos para los que fueron creadas. Del mismo modo como pertenece a la “esencia” del medir el que todos utilicemos los mismos instrumentos de medida, es propio de la inferencia y el cálculo que respondan a reglas fijas e inamovibles” (Rivero, 2000: 112-13). Desde nuestra perspectiva tales aseveraciones resultan en un grueso error. La realidad no se muestra fija e inamovible sino todo lo contrario, compleja y dinámica. Más bien debieras ser nuestros instrumentos de medida ser de tal constitución. Nosotros creemos que sí, y más aún, ello implicará eludir el uso de ciertas reglas y reinterpretar las 3 principales leyes de la lógica. Sino es aceptar que el axioma se encuentra determinado y condicionado por la realidad y la multiplicidad de entidades. Ni de manera temporal la inamovilidad es válida. La regla de medida es más bien una convención social institucional e histórica, tanto producto como soporte de una necesidad e ideología. Si la convención determina a la investigación o a la inferencia o a la realidad la delimita y debiera modificar a la regla convenida. La instrumentalización de un cálculo y álgebra construidos desde las contradicciones dialécticas permitirá la creación de algoritmos con un poder explicativo y predictivo muy superior.

En la lógica formal , el todo es igual a las partes, desde la lógica dialéctica ello no es necesariamente cierto, el todo es diferente a las partes. De una forma más operacional, el todo (el ente ya determinado) es mucho mayor (>>) que las partes; es cualitativamente superior que las partes. Los entes no son estáticos, sino que en todo momento se encuentran cambiando; son ellos mismos y al mismo tiempo se encuentran en perpetua transición. Un análisis formal al tratar de vaciar el contenido del ente se nos presenta sumamente estrecho, requiere un estudio dialéctico de la sustancia a la forma y de las partes al todo. El infinito, como ya hemos expresado no lo consideramos una cantidad sino una relación, siendo mucho mayor que su conjunto-base en referencia-a su campo. En otro campo dicho ente puede no ser inconmensurable. En la contraparte, el infinitésimo es mucho menor que el conjunto base que se encuentra referenciado.

No obstante, de ningún modo despreciamos la capacidad de abstracción de la lógica formal, ya que de la generalización abstracta depende el razonamiento de los aspectos esenciales del ente. Así expresamos que un cálculo diferencial de acuerdo con estos principios debe partir de lo abstracto (no vinculado) a lo concreto (lo relacionado con lo otro), de la cantidad a la calidad. Se debe aprehender la relación de un sistema como una totalidad y no de forma fragmentaria. La solución entre lo discreto y lo continuo se encuentra en la mutua interdependencia de ambos polos de la determinación; lo azaroso y discreto se expresa en lo continuo y necesario.

En una lógica dialéctica sería posible que desde diversas subsunsiones del infinito, que lo continuo-discontinuo, el azar y la necesidad, lo concreto y abstracto sean resueltos en una metodología matemática. Ello podría lograrse en el estudio del ser al ente abstracto y a la concreción de las relaciones entre los entes para retornar a una comprensión más profunda del ente; y viceversa. De lo inductivo a lo deductivo y viceversa. A decir verdad, nosotros sostenemos que el proceso deductivo a lo inductivo, o de la concreción-abstracción-concreción también es valedero.

Respecto a la no naturalidad del principio de identidad (A=A), nos parece pertinente retomar las palabras de Trostsky quien ya vislumbraba con claridad las estrecheces de la lógica formal, en particular centra su crítica a la ley de identidad desde la dialéctica cuyo principio en esencia es valedero.

"Pero en realidad "A" no es igual a "A". Esto es fácil de demostrar si observamos estas dos letras bajo un lente: son completamente diferentes. Pero, se podrá objetar, no se trata del tamaño o de la forma de las letras, dado que ellas son solamente símbolos de cantidades iguales, por ejemplo de una libra de azúcar. La objeción no es valedera; en realidad, una libra de azúcar nunca es igual a una libra de azúcar. Una balanza de precisión descubrirá siempre la diferencia. Nuevamente se podría objetar, sin embargo, una libra de azúcar es igual así misma. Tampoco esto es verdad: todos los cuerpos cambian constantemente de peso, color, etc. Nunca son iguales así mismos. Un sofista contestará que una libra de azúcar es igual así misma en "un momento dado". Fuera del valor práctico extremadamente dudoso de ese "axioma", tampoco soporta una crítica teórica ¿Cómo concebimos realmente la palabra "momento"? Sí se trata de un intervalo infinitesimal de tiempo, entonces una libra de azúcar esta sometida durante el transcurso de ese "momento" a cambios inevitables ¿O ese "momento" es una abstracción puramente matemática, es decir, un tiempo cero? Pero todo existe en el tiempo y la existencia misma, es un proceso ininterrumpido de transformación; el tiempo es, en consecuencia, un elemento fundamental de la existencia. De este modo, el axioma "A" es igual a "A" significa que una cosa es igual así misma sino cambia, es decir, sino existe" (Trostky, consultado el 30 de junio del 2015)

La lógica formal resulta demasiado estrecha para el estudio de las transformaciones y el devenir. No debe perderse de vista que la forma proviene de la sustancia. Este hecho suele olvidarse en la lógica y la matemática. Un modelo, un teorema no se explican por sí mismos, no son cosas en sí. Nos interesa señalar que producto de ello el cálculo diferencial nos da una aproximación del momento cumbre del cambio de cantidad en calidad.

A decir verdad, la realidad se compone de contradicciones donde lo lógico formal es un momento del conocimiento. Se encuentra compuesta de segmentos no derivables ni integrables, la continuidad es la excepción y no la regla. En las matemáticas devenidas de la lógica formal no es anormal que aparezcan contrasentidos que a su vez se encuentran llenos de significado y sustancia. "La raíz cuadrada de menos uno, que no es un número aritmético en absoluto. Como Hegel explica: "En el método del infinito matemático, la matemática encuentra una contradicción radical al mismo método que le es característico y en el que se basa como ciencia. Porque el cálculo del infinito admite, y exige, métodos de procedimiento que las matemáticas, cuando operan con magnitudes finitas como cuantos finitos, intentando aplicar a los primeros los mismos métodos que son válidos para estos últimos" (Hegel en Lewontin, 1995: 362).

En consecuencia, lo antes dicho nos lleva a preguntarnos acerca de la naturaleza del número considerando la superación del primer postulado de la lógica, A es igual a A. El número es un infinito acotado; es una totalidad que antecede a las partes. En verdad, siempre se puede teorizar sobre un número más pequeño que el infinitesimal, más pequeño que el número surrealista, o más colosal que el infinito aleph; pero dicho enfoque invariablemente nos lleva a una trasmutación sinequista de números infinitamente más pequeños o infinitamente más grandes. Creemos que esta contradicción puede ser resuelta no recurriendo a una interpretación del número como una cantidad epifenoménica separada de la de la sustancia o materialidad óntica. Es decir, abandonando la separación artificial e idealista que existe entre la cantidad y la cualidad o la forma y la sustancia.

Si aceptamos que el número se encuentra vinculado al binomio ente-proceso, la contradicción entre el paso de un número a una cantidad infinitesimal se puede resolver uniendo la contradicción. El número no sólo representa una totalidad en sí misma que antecede a todas sus partes, sino que también puede ser número hiperreal, surreal, imaginario, real y el infinito no numerable del próximo número, sino que cada número puede representar el resultado de una multiplicidad de relaciones matemáticas. Es decir, lo infinitésimo y lo infinito son aspectos del número. A nuestra percepción el número aleph representa una especie de infinito, respecto a un número omega, este se verá empequeñecido. De la misma manera el número 1 representa una totalidad mucho más que (>>) infinita respecto a un número surrealista próximo. Es decir, dichas contradicciones entre un número y otro, sino que adquiere relevancia la sustancia del devenir (o incluso una transubstantación) de un número a otro. A ello se debe que mencionemos la totalidad del número como más que la totalidad, dicho devenir ese mucho mayor que (>>) que completa la infinitud acotada. Recordemos las diversas indivisibilidades sustanciales del ente, el tiempo como ente ya implica un espacio; y el espacio-tiempo como sustancia del ente, ya implican un devenir. En si no hay un número per se que sea el más infinitesimal o el más infinito, en éste sentido la categorización del ente creemos que puede representar el átomo matemático: el número es ya categorial infinitesimal y/o infinito (es simultaneo porque más que representar una cantidad representa una relación de trasmutación de un número en otro, en un conjunto transfinito y ¿no numerable? Dicha entidad representa al ente y la nada; es el ser y no ser, uno y simultaneo. Dicho número categorial es quien representa la relación infinitesimal que completa una totalidad y la trasciende. Es el cuasi número que representa el ser y el no ser de la totalidad del guarismo en cuestión. De acuerdo a Cantor existen infinitos de diversos tamaños, el número categorial es el que permitiría completar la tendencia de una secuencia infinita en una totalidad. Y como ya habíamos comentado anteriormente, sólo manteniendo una relación de unos con otros y en relación con su campo o contexto es que dichas cualidades existen y adquieren razón de ser.

Si partimos de la categoría ente y devenir, toda cantidad por su inverso es 0; si hay una variación en algún componente de dicha operación es 1 o -1; de tal modo que la recta numérica es un campo, en el sentido que utilizamos, ya que representa la unidad ontológica y yuxtapuesta no sólo de cantidades sino de relaciones numéricas de todo tipo, en acto y en potencia, derivada del vacío, no como el inicio desde el ex nihilo sino como el todo y la nada indiferenciada. Es decir, todo número imaginable es el infinito no numerable de otra entidad numérica. La recta numérica como una referencia también es proclive de cambiar al ser un ente proceso. Así la primitiva expresión dx + x = x tiene sentido si dx es un número categorial. De acuerdo a Cantor existen infinitos de diversos tamaños; si entre 0 y 1 existe n más números que en toda la recta numérica ¿Entonces entre 0 un número surreal también existe un infinito de menor tamaño que el existente entre 0 y 1? ¿La misma relación puede extenderse entre 0 y aleph, o entre aleph y omega? Una numeración, y subsecuentes operaciones pueden ser derivadas y consecuentes con una Ontología Dialéctica, Historicidad donde las determinaciones espacial-temporal, temporal-espacial y ciertamente una cosmología tal y como se comprende no de una manera isomorfa sino heteromorfa donde el orden de los factores se ve afectado por la sustancia de los mismos.

Al final, con estas líneas, hemos tratado de mostrar que las matemáticas no son un monolito invariable, sino que es un cuerpo aun no concluido.

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Licenciado en Ciencias políticas e involucrado en el mundo de las actividades académicas y sociales. Actualmente realizando investigaciones y organización para distintos frentes sociales y proyectos para el desarrollo económico.

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